Question

【题目】若数列对任意连续三项，均有，则称该数列为“跳跃数列”.

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：

①等差数列：；

②等比数列：；

（2）若数列满足对任何正整数，均有.证明：数列是跳跃数列的充分必要条件是.

（3）跳跃数列满足对任意正整数均有，求首项的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）① 等差数列：不是跳跃数列；② 等比数列：是跳跃数列.（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）①数列通项公式为，计算可得：，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：，计算可得：，所以它是跳跃数列；

（2）必要性：若，则是单调递增数列，若，是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，命题成立，若时，可得：，所以当时命题也成立；

（3）有已知可得：，，若，则，解得；若，则，解得，

由，则，得；当，则，得，问题得解.

（1）①等差数列：通项公式为：

所以此数列不是跳跃数列；

②等比数列：通项公式为：

所以此数列是跳跃数列

（2）必要性：

若，则是单调递增数列，不是跳跃数列；

若，是常数列，不是跳跃数列.

充分性：（下面用数学归纳法证明）

若，则对任何正整数，均有成立.

当时，， ，

，

，

所以命题成立

若时，，

则，

，

所以当时命题也成立，

根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足，

故是跳跃数列.

（3）

若，则，

解得；

若，则，

解得；

若，则，所以，

若，则，所以，

所以，

此时对任何正整数，均有