Question

已知圆C：（x+l）²+y²=8及点F（l，0），P为圆C上一动点，在同一坐标平面内的动点M满足：．
（I）求动点M的轨迹E的方程；
（II）过点F作直线l与（I）中轨迹E交于不同两点R、S，设，求直线l 的纵截距的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据，可得动点M的轨迹E是以C，F为左、右焦点的椭圆，由此可得轨迹方程；
（II）①若直线l的斜率为0，不满足；
②当直线l的斜率不为0时，设方程为x=ty+1，代入，利用韦达定理，及，即可求得结论．
解答：解：（I）由已知，圆C：（x+1）²+y²=8，则半径为2
∵
∴C，M，P三点共线，且|MC|+|MF|=|MF|+|MP|=|FP|=2
∴动点M的轨迹E是以C，F为左、右焦点的椭圆，且2a=2，c=1
∴动点M的轨迹E的方程为；
（II）①若直线l的斜率为0，则R（-，0），S（，0），F（1，0），
∴，
∴，故直线l的纵截距不可能为0；
②当直线l的斜率不为0时，λ≠-1，设方程为x=ty+1（t≠0），代入，可得（t²+2）y²+2ty-1=0
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）（y₁≠0，y₂≠0），则y₁+y₂=-，y₁y₂=-
∵，∴y₁=λy₂，∴λ=，λ＜0
∴+2=+2==-
∵λ∈[-2，-1]
∴
∴-≤-≤0
∴0≤t²≤
∴0＜t≤或
∴直线l的纵截距-．
点评：本题考查椭圆的定义，考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，综合性强．