Question

已知函数fn(x)=(1+

1

n

)x（n∈N^*）．
（Ⅰ）比较f_n^′（0）与

1

n

的大小；
（Ⅱ）求证：

f1′(1)

2

+

f2′(2)

3

+

f3′(3)

4

+…+

fn′(n)

n+1

＜3．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导数，构造函数φ（x）=ln（1+x）-x，研究函数φ（x）的单调性可判定f_n^′（0）与

1

n

的大小
（2）利用第一问的结论对

fn′(n)

n+1

进行放缩，结合不等式的性质和裂项求和法的运用，联合求解即可证明原不等式．

解答：解：（Ⅰ）fn′(x)=(1+

1

n

)xln(1+

1

n

)
则fn′(0)=ln(1+

1

n

)，设函数φ（x）=ln（1+x）-x，x∈（0，1]
则φ′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，则φ（x）单调递减，
所以ln（1+x）-x＜φ（0）=0，所以ln（1+x）＜x
则ln(1+

1

n

)＜

1

n

，即fn′(0)＜

1

n

；
（Ⅱ）

fn′(n)

n+1

=

(1+ 1 n )nln(1+ 1 n )

n+1

＜

(1+ 1 n )n

n(n+1)

．
因为(1+

1

n

)n＜1+1+

1

1•2

+

1

2•3

++

1

(n-1)n

=3-

1

n

＜3
则

f1′(1)

2

+

f2′(2)

3

+

f3′(3)

4

++

fn′(n)

n+1

＜3(

1

1•2

+

1

2•3

++

1

(n-1)n

)=3(1-

1

n

)＜3
则原结论成立．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式的证明，在高考中也常考，属于难题．