Question

（2013•东城区二模）已知函数f(x)=lnx+

a

x

（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果P（x₀，y₀）是曲线y=f（x）上的点，且x₀∈（0，3），若以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求导数，然后解导数不等式，可求函数的单调区间．
（2）求出导数得到切线的斜率，利用斜率关系求实数a的最小值．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=lnx+

a

x

，定义域为（0，+∞），
则f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
因为a＞0，由f'（x）＞0，得x∈（a，+∞），由f'（x）＜0，得x∈（0，a），
所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
（Ⅱ）由题意，以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k满足k=f′(x0)=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

（0＜x₀＜3），
所以a≥-

1

2

x02+x0对0＜x₀＜3恒成立．
又当x₀＞0时，-

3

2

＜-

1

2

x02+x0≤

1

2

，
所以a的最小值为

1

2

．

点评：本题考查导数与单调性的关系，以及利用导数求切线斜率．熟练掌握各种导数的运算是解决导数问题的关键．