Question

关于函数f（x）=（2x-x²）e^x，则下列四个结论：①f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜2}②f（x）的极小值为f（-），极大值为f（）③f（x）没有最小值，也没有最大值④f（x）没有最小值，有最大值，其中正确结论为

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①③
4. D.
   ②④

Answer 1

A
分析：令f（x）＞0可解x的范围；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确，④正确．从而得到答案．
解答：由f（x）＞0可得（2x-x²）e^x＞0
∵e^x＞0，∴2x-x²＞0，∴0＜x＜2，故①正确；
f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±，
由f′（x）＜0得x＞或x＜-，由f′（x）＞0得-＜x＜，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-），（，+∞）；单调增区间为（-，）．
∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（-），故②正确．
∵x＜-时，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）无最小值，但有最大值f（）
∴③不正确，④正确．
故选A．
点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值，主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．