Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°，
（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；
（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O， 连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE， ∵AD⊥PB， ∴AD⊥OB， ∵PA=PD， ∴OA=OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点， 所以PE⊥AD， 由此知∠PEB为面PAD与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°， 由已知可求得PE=， ∴PO=PE·sin60°=， 即点P到平面ABCD的距离为。
（Ⅱ）如图，取PB的中点G，PC的中点F， 连结EG、AG、GF， 则AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC， ∵AD⊥PB， ∴BC⊥PB，FG⊥PB， ∴∠AGF是所求二面角的平面角， ∵AD⊥面POB， ∴AD⊥EG， 又∵PE=BE， ∴EG⊥PB，且∠PEG=60°， 在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=， 在Rt△PEG中，EG=AD=1， 于是tan∠GAE=， 又∠AGF=π-∠GAE， 所以所求二面角的大小为π-arctan。