Question

已知函数f(x)=

x+1

x2+3

，x∈[0，a](a＞0)．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最大值；
（2）函数f（x）的值域恰为[

1

3

，

1

2

]，试求出所有满足条件的自然数a所构成的集合．

Answer 1

分析：（1）将函数适当化简，转化成可利用基本不等式的形式，进而利用基本不等式可求函数f（x）的最大值；
（2）首先确定a≥1，进而根据f（x）在[0，1]上单增，在[1，a]上单减，求出a的范围即可．

解答：解：（1）f(x)=

x+1

x2-1+4

=

1

x-1+ 4 x+1

=

1

x+1+ 4 x+1 -2

≤

1

2×2-2

=

1

2

?x=1时等号成立（4分）
即当x=1∈[0，2]时f（x）的最大值为

1

2

（6分）
（2）假设存在这样的自然数a满足条件，
由（1）知当x=1时，y_max=

1

2

则1∈[0，a]；所以a≥1（18分）
又f（x）在[0，1]上单增，在[1，a]上单减；且f（0）=

1

3

所以只需f(a)=

a+1

a2+3

≥

1

3

（11分）
解得0≤a≤3
又a≥1且a为自然数，所以a构成的集合为{1，2，3}．（13分）

点评：本题考查函数的定义域，函数的值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．