Question

6．已知曲线f（x）=ax+blnx-1在点（1，f（1））处的切线为直线y=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx+mf（x），其中m为常数，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由曲线f（x）=ax+blnx-1在点（1，f（1））处的切线为直线y=0，可得f（1）=0及f′（1）=0，由此求出a，b的值；
（Ⅱ）把a，b的值代入f（x），再把f（x）代入g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx+mf（x），根据m的范围可得导函数在不同区间段内的符号，由导函数的符号可得原函数的单调期间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax+blnx-1，定义域为（0，+∞），
${f}^{′}（x）=a+\frac{b}{x}$，
由曲线f（x）=ax+blnx-1在点（1，f（1））处的切线为直线y=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1=0}\\{{f}^{′}（1）=a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，f（x）=x-lnx-1，
故g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx+mf（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-mlnx-m$，
g（x）的定义域为（0，+∞），${g}^{′}（x）=x-\frac{m}{x}=\frac{{x}^{2}-m}{x}$，
当m≤0时，g′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
即g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，令g′（x）=0，解得x=$\sqrt{m}$或x=-$\sqrt{m}$（舍），
①当x∈（0，$\sqrt{m}$）时，g′（x）＜0，即g（x）在（0，$\sqrt{m}$）上单调递减；
②当x∈（$\sqrt{m}，+∞$）时，g′（x）＞0，即g（x）在（$\sqrt{m}，+∞$）上单调递增．
综上所述，当m≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，g（x）的单调递增区间为（$\sqrt{m}$，+∞），g（x）的单调递减区间为（0，$\sqrt{m}$）．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化及分类讨论的数学思想方法，是中档题．