Question

（2012•宿州三模）已知函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ） 若△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且C为锐角，f（

C

2

）=-

1

4

，c=

3

，a+b=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）将函数表达式展开，结合三角函数降次公式合并，可得f（x）=-

3

2

sin2x+

1

2

，由此不难得到函数f（x）的最大值；
（II）由f（

C

2

）=-

1

4

，可算出sinC=

3

2

结合C为锐角得C=

π

3

，再利用三角形的余弦定理结合题中给出的数据，算出ab=2，最后可用正弦定理的面积公式求出△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1

2

（1-cos2x）=-

3

2

sin2x+

1

2

…（3分）
∴当2x=-

π

2

+2kπ时，即x=kπ-

π

4

（k∈Z）时，函数f（x）=的最大值是-

3

2

+

1

2

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（

C

2

）=-

3

2

sinC+

1

2

=-

1

4

，可得sinC=

3

2

∵C为锐角，∴C=

π

3

…（8分）
又∵c²=a²+b²-2abcosC，a²+b²=（a+b）²-2ab
∴3=3²-2ab（1+cosC）=9-3ab，∴ab=2      …（10分）
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

2

．…（12分）

点评：本题给出三角函数表达式，要求我们化简、求函数的最大值，并依此解三角形，着重考查了余弦定理、三角函数的降次公式和辅助角公式等知识，属于基础题．