Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x₁∈（2，3），则有
（　　）

A．abc＞0

B．a+b+c＜0

C．a+c＞b

D．3b＜2c

Answer 1

分析：由二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，可以知道a＜0，b=-2a，交点的横坐标x₁∈（2，3），可得到

f(2)＞0 f(3)＜0

，从而可得答案．

解答：解：∵二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象开口向下，
∴a＜0，又对称轴为x=1，
∴x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a；
∴f（x）=ax²-2ax+c．
又与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x₁∈（2，3），a＜0，
∴

f(2)＞0 f(3)＜0

即：

4a-4a+c＞0 9a-6a+c＜0

，
∴

c＞0 3a+c＜0

，
∴a+c＞-2a=b．C符合．
又a＜0，b=-2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，排出A；
∵二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，
∴f（1）=a+b+c＞0，排出B；
f（-1）=a-b+c＜0，
∴a+c＜b，排除C；
图象与x轴的两个交点中一个交点的横坐标x₁∈（2，3），
∴f（-1）=f（3）＜0，而f（-1）=a-b+c=-

3

2

b+c＜0，
∴3b＞2c，排出D．
故无答案．

点评：本题考查了二次函数图象与性质，关键在于准确把握题目信息的意图，合理转化，特别是

f(2)＞0 f(3)＜0

的分析与应用是难点．属于中档题．