Question

（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；
（Ⅱ）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。

Answer 1

（Ⅰ）。（Ⅱ）

解：（Ⅰ）∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，
所以。
（Ⅱ）当时，，，，双曲线为
四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，
又，由得：，
解得，则，所以为所求。