Question

（本题满分12分）

在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面， ，点是的中点，作交于.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连结，与交于.由中位线可得∥.根据线面平行的判定定理可证得∥平面.（Ⅱ）由底面可证得,又因为是正方形,根据线面垂直判定定理可证得平面,从而可得.根据等腰三角形中线即为高线可得,根据线面垂直判定定理可证得平面,从而可得又可得平面.（Ⅲ）以点为坐标原点建立空间直角坐标系. 设,可得各点的坐标,从而可得各向量坐标.根据向量垂直数量积为0可得面和面的法向量.根据数量积公式可得两法向量夹角的余弦值,可得两法向量夹角. 两法向量夹角与二面角相等或互补.由观察可知所求二面角为锐角.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）连结，与交于，

∵是正方形，∴则为的中点

∵是的中点，

∴∥

∵平面，平面

∴∥平面 3分

（Ⅱ）∵底面，平面

∴

∵，

∴平面 4分

∵平面，

∴

∵是的中点，

∴

∵

∴平面 6分

而平面，

∴

又，

平面 8分

（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设

则 9分

设平面的法向量是，则，

所以，，即 10分

设平面的法向量是，则

所以，，即 11分

，即面角的大小为. 12分

考点：1线面平行;2线面垂直;3空间向量法解决立体几何问题.