Question

17．设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，则b²+c²+bc的取值范围为（　　）

• A． （1，9]
• B． （3，9]
• C． （5，9]
• D． （7，9]

Answer 1

分析 利用余弦定理列出关系式，将cosA与a的值代入得到b²+c²=bc+3，代入所求式子变形后，利用基本不等式即可求出范围．

解答 解：∵cosA=cos

π

3

=

1

2

，a=

3

，
由ABC为锐角三角形，B+C=120°，可得$\frac{π}{6}$＜B，C＜$\frac{π}{2}$，
∴a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²=bc+3＞5，
∴b²+c²+bc=2bc+3=2（b²+c²）-3，
∴5＜b²+c²≤6，即7＜2（b²+c²）-3≤9
则b²+c²+bc范围为（7，9]．
故选：D．

点评 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．