Question

已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f(x)=x+

4

x

，又x∈[-3，-1]时，a≤f（x）≤b恒成立，则b-a的取值范围是

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：要使x∈[-3，-1]时，a≤f（x）≤b恒成立，则函数的值域是[a，b]的子集，因此关键是求出函数在x∈[-3，-1]时，函数的值域，利用函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f(x)=x+

4

x

，可求．

解答：解：设x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f(x)=x+

4

x

，∴f(-x)=-x-

4

x

∵函数f（x）是偶函数，∴x＜0时，f(x)=-x-

4

x

当x∈[-3，-1]时，函数的值域为[4，5]
∵x∈[-3，-1]时，a≤f（x）≤b恒成立
∴[4，5]⊆[a，b]
∴b-a≥1
故答案为[1，+∞）

点评：本题的考点是函数恒成立问题．主要考查x∈[-3，-1]时，a≤f（x）≤b恒成立，关键是求出函数在x∈[-3，-1]时，函数的值域，利用函数的值域是[a，b]的子集求解．