Question

已知函数f(x)=log3(ax2+2x+3)，a∈R．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的范围； 
（2）若f（x）的值域为R，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的定义域为R，可得ax²+2x+3＞0恒成立，a=0不合题意．由

a＞0 △=22-4•a•3＜0

求得a的范围．
（2）由f（x）的值域为R，则y=ax²+2x+3能取遍所有的正数．分①若a=0和②a≠0两种情况，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）由f（x）的定义域为R，可得ax²+2x+3＞0恒成立．
若a=0时，2x+3＞0，x＞-

3

2

，不合题意，所以a≠0．
由

a＞0 △=22-4•a•3＜0

得：a＞

1

3

，即a的范围为（

1

3

，+∞）．
（2）由f（x）的值域为R，则y=ax²+2x+3能取遍所有的正数．
①若a=0时，y=2x+3可以取遍一切正数，符合题意．
②若a≠0时，需

a＞0 △=22-4•a•3≥0

，即0＜a≤

1

3

．
综上，实数a的取值范围为[0，

1

3

]．

点评：本题主要考查对数函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．