Question

设p是一个素数，p≡3（mod 4），设x，y是整数，满足p|x²-xy+

p+1

4

y2．求证：存在整数u，v使得x²-xy+

p+1

4

y2=p(u2-uv+

p+1

4

v2)．

Answer 1

分析：由已知p是一个素数，p≡3（mod 4），x，y是整数，满足p|x²-xy+

p+1

4

y2．可知p|（2x-y）²+py²，p|（2x-y）²．得到p|（2x-y）．设2x-y=pk，代入x²-xy+

p+1

4

y2．整理即可得出．

解答：证明：由已知p是一个素数，p≡3（mod 4），x，y是整数，满足p|x²-xy+

p+1

4

y2．
可知p|（2x-y）²+py²，p|（2x-y）²．
∴p|（2x-y）．设2x-y=pk，
则 x2-xy+

p+1

4

y2=

1

4

[py2+(2x-y)2]
=

1

4

[(2x-pk)2p+p2k2]=

p

4

[(2x-pk)2+pk2]
=

p

4

[(2x-pk+k-k)2+pk2]=

p

4

[(2u-v)2+pv2]，其中u=x-

k(p-1)

2

，v=k．
=

p

4

[4u2-4uv+(p+1)v2]=p(u2-uv+

p+1

4

v2)．
命题得证．

点评：本题考查了关于素数的定理的应用，属于中档题．