Question

（2013•房山区二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且an+1=

2Sn

an

(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足(2an-1)(2bn-1)=1，T_n为{b_n}的前n项和，试比较T_n与log2

(2an+1)

的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用an+1=

2Sn

an

(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0，令n分别取1，2即可得出；
（II）由已知可知Sn=

1

2

anan+1，可得an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．由于a_n+1≠0，转化为一个分奇数项和偶数项分别成等差数列：a_n+2-a_n=2
（n∈N^*）． 即可得出通项a_n．
（III）   要比较T_n与log2

(2an+1)

的大小，只需比较2T_n与log₂（2a_n+1）的大小．利用（II）和已知条件即可得出2T_n，令f（n）=2T_n-log₂（2a_n+1），比较f（n+1）与f（n）的大小即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1=

2Sn

an

(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
∴a2=

2S1

a1

=

2a1

a1

=2，
a3=

2S2

a2

=

2(a1+a2)

a2

=3．
（Ⅱ）由已知可知Sn=

1

2

anan+1，故an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．
∵a_n+1≠0，∴a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．         
于是 数列{a_2m-1}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，∴a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，
数列{a_2m}是以a₂=2为首项，2为公差的等差数列，∴a_2m=2+2（m-1）=2m，
∴a_n=n（n∈N^*）．                     
（Ⅲ）可知Tn＞log2

(2an+1)

．下面给出证明：
要比较T_n与log2

(2an+1)

的大小，只需比较2T_n与log₂（2a_n+1）的大小．
由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=

2n

2n-1

，
故bn=log2

2n

2n-1

．            
从而 Tn=b1+b2+…+bn=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)．
2Tn=2log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2-log₂（2n+1）
=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2+log2

1

2n+1

=log2[(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

]．
设f(n)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

，
则f(n+1)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

•

2n+2

2n+1

)2•

1

2n+3

，
故

f(n+1)

f(n)

=

2n+1

2n+3

•(

2n+2

2n+1

)2=

(2n+2)2

(2n+3)(2n+1)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1，
又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．
所以对于任意 n∈N^*都有f(n)≥f(1)=

4

3

＞1，
从而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2Tn＞log2(2an+1)，n∈N*．
即  Tn＞log2

(2an+1)

．

点评：本题考查了数列的通项a_n与S_n之间的关系，分类讨论的思想方法，等差数列的通项公式，对数的运算性质，作差法和作商比较两个数的大小等知识与方法，熟练掌握它们是解题的关键．本题需要较强的计算能力和转化能力．