Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

an

2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：-

7

4

≤Tn＜-1(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用待定系数法，根据a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比数列，建立方程组，可求首项与公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，再确定其单调性，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由已知得：

a10=15 a42=a3a7

即：

a1+9d=15 (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)

------（2分）
解之得：

a1=-3 d=2

---------------------（4分）
所以a_n=2n-5，（n≥1）-------------------------（6分）
（Ⅱ）证明：∵bn=

an

2n

=

2n-5

2n

，n≥1．
∴Tn=

-3

2

+

-1

22

+

1

23

+…+

2n-5

2n

，①

1

2

Tn=

-3

22

+

-1

23

+

1

24

+…+

2n-7

2n

+

2n-5

2n+1

．②
①-②得：

1

2

Tn=

-3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-5

2n+1

=-

1

2

+

1-2n

2n+1

得Tn=-1-

2n-1

2n

(n≥1)，----------（10分）
∵

2n-1

2n

＞0(n∈N*)，
∴T_n＜-1．------------------（12分）
∵Tn+1-Tn=(-1-

2n+1

2n+1

)-(-1-

2n-1

2n

)=

2n-3

2n+1

，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）-----------（13分）
而T₁＞T₂，所以T₂最小
又T2=-

7

4

，所以Tn≥-

7

4

综上所述，-

7

4

≤Tn＜-1(n∈N*)．----------（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查数列的单调性，正确求数列的通项与求和是关键．