题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（ $数学公式$ ）^n-1+2（n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n= $数学公式$ a_n，若T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n．

解：（1）在S_n=-a_n-（ $\text{[math]}$ ）^n-1+2中令n=1可得s₁=-a₁-1+2=a₁即a₁= $\text{[math]}$
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+ $\text{[math]}$
∴2a_n=a_n-1+ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
∵b_n=2ⁿa_n，
∴b_n-b_n-1=1即当n≥2时b_n-b_n-1=1
又∵b₁=2a₁=1
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ …+（n+1） $\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ +…+（n+1） $\text{[math]}$ ②
由①-②得 $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ -（n+1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴T_n=3- $\text{[math]}$
分析：（1）根据数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（ $\text{[math]}$ ）^n-1+2（n为正整数）利用 $\text{[math]}$ 得出 $\text{[math]}$ 再利用b_n=2ⁿa_n，可得当n≥2时b_n-b_n-1=1即得出数列{b_n}是等差数列，进而可求出b_n然后求出a_n．
（2）由（1）可求出 $\text{[math]}$ 再结合其表达式的特征知可用错位相减法求T_n．
点评：本题主要考查了数列通项公式的求解和数列的求和，属常考题，较难．解题的关键是公式 $\text{[math]}$ 以及错位相减法求和的应用!