Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元~1 000万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%，
(Ⅰ)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
(Ⅱ)现有两个奖励函数模型：(1)y=+2；(2)y=4lgx-3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

Answer 1

解：(Ⅰ)设奖励函数模型为y=f(x)，
则公司对函数模型的基本要求：当x∈[10，1 000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；
③恒成立；
(Ⅱ)(1)对于函数模型：
当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，
则f(x)_max=f(1000)=，所以f(x)≤9恒成立，
因为函数在[10，1000]上是减函数，
所以，从而不恒成立，即不恒成立，
故该函数模型不符合公司要求；
(2)对于函数模型f(x)=4lgx-3：
当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，
则f(x)_max=f(1000)=4lg1000-3=9，所以f(x)≤9恒成立．
设，则g′(x)=，
当x≥10时，g′(x)=，
所以g(x)在[10，1 000]上是减函数，
从而g(x)≤g(10)=-1＜0，
所以，即，
所以恒成立，故该函数模型符合公司要求。