Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l₀与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设双曲线的标准方程，进而可知a和c的值，进而求得b，双曲线方程可得．
（2）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据判别式和韦达定理求得k的范围．
（3）根据（1）中的x_A+x_B求得y_A+y_B的表达式，则AB的中点P的坐标可得，设出直线l₀的方程，将P点坐标代入直线l₀的方程求得b和k的关系是，进而根据k的范围确定b的范围．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由已知得：a=

3

，c=2，再由a²+b²=c²，∴b²=1，
∴双曲线方程为

x2

3

-y²=1．
（2）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
将y=kx+

2

代入

x2

3

-y²=1，
得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由题意知

△=36(1-k2)＞0 xA+xB= 6 2 k 1-3k2 ＜0 xAxb= -9 1-3k2 ＞0

解得

3

3

＜k＜1．
∴当

3

3

＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．
（3）由（2）得：x_A+x_B=

6 2 k

1-3k2

，
∴y_A+y_B=（kx_A+

2

）+（kx_B+

2

）
=k（x_A+x_B）+2

2

=

2 2

1-3k2

，
∴AB的中点P的坐标为（

3 2k

1-3k2

，

2

1-3k2

）．
设直线l₀的方程为：y=-

1

k

x+b，
将P点坐标代入直线l₀的方程，得b=

4 2

1-3k2

．
∵

3

3

＜k＜1，∴-2＜1-3k²＜0，
∴b＜-2

2

．
∴b的取值范围为（-∞，-2

2

）．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程以及直线与双曲线的关系．考查了学生综合分析问题和运算的能力．