Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上三点A（x₁，y₁），B（4，y₂），C（x₃，y₃）和焦点F（4，0）的距离依次成等差数列．
①求x₁+x₃；
②求证线段AC的垂直平分线过定点，并求出此定点的坐标．

Answer 1

分析：①根据椭圆的性质，椭圆上的点到焦点的距离与其到对应准线的距离之比等于e，将问题转化为A、B、C三点右准线的距离成等差数列，表示出这三个距离，由等差关系转化成等式即可化简出结论．
②由点差法得出直线AC的斜率与其中点坐标的关系，再由垂直得出其垂线的斜率，由点斜式得出中垂线方程，发现其为一过定点的直线，得出此坐标即可．

解答：解：①根据椭圆的性质，椭圆上的点到焦点的距离与其到对应准线的距离之比等于e，
由A、B、C和焦点F（4，0）的距离依次成等差数列，可得A、B、C三点右准线的距离成等差数列；
即|

25

4

-x₁|+|

25

4

-x₃|=2|

25

4

-4|；
又由-5≤x₁、x₃≤5＜

25

4

；
化简可得x₁+x₃=8
②设直线AC的斜率为k，则AC中点的坐标为（4，t），将A（x₁，y₁），C（x₃，y₃）代入椭圆的方程，
故有

x 12 25 + y 12 9 =1 x 32 25 + y 32 9 =1

两者作差得

(x1-x3)(x1+x3)

25

+

(y1+y3)(y1-y3)

9

=0，故得

y1-y3

x1-x3

=-  

x1+x3

25

×

9

y1+y3

，即k=-

72

50t

，故t=-

36

25k

又其垂直平分线的斜率为-

1

k

，故垂直平分线方程为y-t=-

1

k

（x-4）即y+

36

25k

=-

1

k

（x-4）故有y=-

1

k

（x-4+

36

25

）=-

1

k

（x-

64

25

）
即中垂线方程为y=-

1

k

（x-

64

25

）
∴过定点(

64

25

，0)

点评：本题考查椭圆的应用，考查了椭圆的第二定义以及直线与椭圆相交进常用的点差法用坐标表示直线的斜率，中垂线方程的求法，及过定点的直线方程定点的求法，本题很抽象，综合性较强，涉及到了多个解题的技巧，是椭圆中的一个难题．