Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，且圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆标准的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

3

时，证明：点P在一定圆上；
（3）设椭圆的上顶点为Q，证明：PQ=PF₁+PF₂．

Answer 1

分析：（1）由圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0确定A，F₂两点的坐标，即可求得椭圆方程；
（2）设点P（x，y），因为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），则可求kPF1，kPF2，利用β-α=

2π

3

，及差角的正切公式，即可证得结论；
（3）利用两点间的距离公式，计算|PQ|²=12-4y，计算出（|PF₁|+|PF₂|）²，即可得到结论．

解答：（1）解：圆x2+y2+

3

x-3y-6=0与x轴交点坐标为A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，
故a=2

3

，c=

3

，所以b=3，
∴椭圆方程是：

x2

12

+

y2

9

=1．
（2）证明：设点P（x，y），因为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），则kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x- 3

，
因为β-α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．
因为tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

-2 3 y

x2+y2-3

，所以

-2 3 y

x2+y2-3

=-

3

．
化简得x²+y²-2y=3．
所以点P在定圆x²+y²-2y=3上．
（3）证明：∵|PQ|²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，x²+y²=3+2y，∴|PQ|²=12-4y．
又|PF₁|²=（x+

3

）²+y²=2y+6+2

3

x，|PF₂|²=（x-

3

）²+y²=2y+6-2

3

x，
∴2|PF₁|×|PF₂|=2

4(y+3)2-12x2

=4

(y+3)2-3x2

，
因为3x²=9-3y²+6y，所以2|PF₁|×|PF₂|=4

4y2

，
∵β=α+

2π

3

＞

2π

3

，又点P在定圆x²+y²-2y=3上，∴y＜0，
所以2|PF₁|×|PF₂|=-8y，
从而（|PF₁|+|PF₂|）²=|PF₁|²+2|PF₁|×|PF₂|+|PF₂|²=4y+12-8y=12-4y=|PQ|²．
所以|PQ|=|PF₁|+|PF₂|．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查差角的正切公式，考查距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．