Question

已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若,对都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：（且）.

Answer 1

（I）当时，单调递增区间为（0，+∞）.当m>0时，单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）. （Ⅱ）实数的取值范围为.（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（I）应用导数研究函数的单调性.遵循“求导数，令导数大（小）于0，解不等式，求单调区间”.
（Ⅱ）将问题转化成“对都有”，
通过求，得到函数在[2,2]上是增函数，
求得=g(2)=2-,利用2-，及得到实数的取值范围为.
（Ⅲ）通过构造函数，利用（I）确定的单调性得到，（当时取“=”号），利用“错位相减法”求得S=
证得（）.
试题解析：（I）   1分
当时，在（0，+∞）单调递增. 2分
当m>0时，由得    
由得
由得>   4分
综上所述：当时，单调递增区间为（0，+∞）.
当m>0时，单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）.   5分
（Ⅱ）若m=,,对都有成立等价于对都有 6分
由（I）知在[2,2]上的最大值= 7分

函数在[2,2]上是增函数，
=g(2)=2-,    9分
由2-，得，又因为，∴∈
所以实数的取值范围为. 10分
（Ⅲ）证明：令m=，则
由（I）知f(x)在（0,1）单调递增，（1，+∞）单调递减，
，（当x=1时取“=”号）
   11分

<    12分
令S=       ①
2S= ②
①-②得-S=
S=
（）    14分