题目内容

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
1
2
．
（1）求f(
1
2
)和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N)的值；
（2）数列{an}满足an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，求数列{an}的通项公式．
（3）令bn=
4
4an-1
，Tn=
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
+…+
b
2
n
，Sn=32-
16
n
试比较Tn与Sn的大小．
分析：（1）令x=
1
2
，得f(
1
2
) =
1
4
，令x=
1
n
得f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=
1
2
=f(
1
n
)+f(
n-1
n
)．
（2）an=f(0)+f(
1
n
)++f(
n-1
n
)+f(1)，又an=f(1)+f(
n-1
n
)++f(
1
n
)+f(0)，
两式相加能导出an．
（3）bn=
4
4an-1
=
4
n
Tn=
b
2
1
+
b
2
2
++
b
2
n
=16(1+
1
22
+
1
32
++
1
n2
≤16[1+
1
1×2
+
1
2×3
++
1
n(n-1)
)=16[1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)++(
1
n-1
-
1
n
)]=32-
16
n
=Sn，由此知Tn≤Sn
解答：解：（1）令x=
1
2
，得f(
1
2
) =
1
4
，
令x=
1
n
得f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=
1
2
=f(
1
n
)+f(
n-1
n
)
（2）an=f(0)+f(
1
n
)++f(
n-1
n
)+f(1)
又an=f(1)+f(
n-1
n
)++f(
1
n
)+f(0)，
两式相加2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]++[f(1)+f(0)]
=
n+1
2
，∴an=
n+1
4
．
（3）bn=
4
4an-1
=
4
n
Tn=
b
2
1
+
b
2
2
++
b
2
n
=16(1+
1
22
+
1
32
++
1
n2
）
＜16[1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
]
=16[1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)++(
1
n-1
-
1
n
)]
=16(2-
1
n
)=32-
16
n
=Sn
∴Tn≤Sn
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．
已知函数f（x）=x+
a
x
+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+
3
2
＞0恒成立，求实数a的取值范围．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），试证明：
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②对任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
若定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且当x＞1时f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

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