题目内容

已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的定义域为［-1，1］，记|f(x)|的最大值为m.

(1)不等式M≥能成立吗？试说明理由.

(2)当M=，求f(x)的解析式.

思路解析：与函数结合的题目，常从函数端点的函数值及函数的单调性入手.本题中由定义域为［-1，1］，考虑f(-1)、f(1)及f(0)的值，进行变换证明.

解：（1）由已知M≥|f(0)|=|b|,M≥|f(-1)|=|1-a+b|,M≥|f(1)|=|1+a+b|,4M≥|f(1)|+|f(-1)|+2|f(0)|=|1+a+b|+|1-a+b|+2|-b|≥|1+a+b+1-a+b-2b|=2.∴M≥.

（2）∵M≥，∴|f(-1)|≤,|f(1)|≤,|f(0)|≤.

∴-≤1-a+b≤,                                                            ①

-≤-b≤.                                                                     ②

①+②,得-1≤1-a≤1,∴0≤a≤2.                                          ③

又-≤1+a+b≤,                                                          ④

②+④,得-1≤1+a≤1,∴-2≤a≤0.                                        ⑤

由③⑤,得a=0.

①+④,得-1≤2+2b≤1,即-≤b≤-.                                 ⑥

又-≤b≤,                                                                   ⑦

由⑥⑦,可得b=-,∴f（x）=x2-.


练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=x2-(a+
1
a
)x+1
（Ⅰ）当a=
1
2
时，解不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．
已知f(x)=
x2(x＞0)
e(x=0)
0(x＜0)
，则f{f[f（-2）]}=（　　）
已知f(x)=
x2，x＞0
f(x+1)，x≤0
则f(2)+f(-1)=（　　）
若函数f（x）对定义域中任意x，均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称；
（1）已知f(x)=
x2-mx+1x
的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；
（2）已知函数g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=-2x-n（x-1），求函数g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；
（3）在（1）（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）+tf（t）＞0，求正实数n的取值范围．
已知f(x)=x2，g(x)=(
1
2
)x-m，若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是
m≥
1
4
m≥
1
4
．

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