Question

已知函数f(x)=2sinxcosx-

3

cos2x+1（x∈R）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在区间x∈[

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值；
（III）若不等式[f（x）-m]²＜4对任意x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）f(x)=sin2x-

3

cos2x+1=2sin(2x-

π

3

)+1，故T=π；
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2

3

π，于是1≤2sin(2x-

π

3

)≤2，即2≤f（x）≤3，
即f（x）_max=3，当x=

5π

12

时取得；f（x）_min=2，当x=

π

4

时取得．
（III）[f（x）-m]²＜4对任意x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立等价于

m＞f(x)-2 m＜f(x)+2

恒成立，
由（II）得1＜m＜4．
∴实数m的取值范围是1＜m＜4．