Question

将函数y=

-x2+2x+3

-

3

（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为

60°

．

Answer 1

分析：根据二次函数的单调性，可得函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．利用求导公式和导数的运算法则，可得函数的导数为f'（x）=

-x  +1

-x2+2x+3

，再设函数在 x=0 处，函数图象的切线斜率为k，则k=f'（0）=

3

3

=tan30°，可得切线的倾斜角为 30°．因此，可得要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，最大旋转角为 90°-30°=60°．

解答：解：设f（x）=

-x2+2x+3

-

3

，根据二次函数的单调性，可得函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．
设函数在 x=0 处，切线斜率为k，则k=f'（0）
∵f'（x）=

1

2

•

(-x2 +2x)′

-x2+2x+3

=

-x  +1

-x2+2x+3

，
∴k=f'（0）=

3

3

=tan30°，可得切线的倾斜角为 30°，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，
旋转θ后的切线倾斜角最多为 90°，
也就是说，最大旋转角为 90°-30°=60°，即θ的最大值为60°
故答案为：60°

点评：本题给出二次式作为被开方数的一个函数，将函数图象绕原点逆时针旋转θ后，所得曲线仍是一个函数的图象，求角θ的最大值，着重考查了导数的几何意义和函数的图象与图象变化等知识点，属于中档题．