Question

设y1=

x1+2x2

3

，y2=

x2+2x1

3

，命题甲：x₁≠x₂，命题乙：x₁x₂＜y₁y₂，则甲是乙成立的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：根据题意，对命题乙x₁x₂＜y₁y₂，进行变形，易得其等价命题

2(x1-x2)2

9

＞0，进而依次判断命题甲：x₁≠x₂?命题乙：x₁x₂＜y₁y₂与命题乙：x₁x₂＜y₁y₂?命题甲：x₁≠x₂的真假，再结合充要条件的结论易得到答案．

解答：解：∵y₁y₂-x₁x₂
=

x1+2x2

3

•

x2+2x1

3

-x₁x₂
=

2x12+2x22+5x1•x2

9

-x₁x₂
=

2x12+2x22-4x1•x2

9

=

2(x1-x2)2

9

则当命题甲：x₁≠x₂成立时，y₁y₂-x₁x₂＞0，则命题乙：x₁x₂＜y₁y₂也成立；
即命题甲：x₁≠x₂?命题乙：x₁x₂＜y₁y₂为真命题；
则当则命题乙：x₁x₂＜y₁y₂成立时，即y₁y₂-x₁x₂＞0时，命题甲：x₁≠x₂也成立时，
即命题乙：x₁x₂＜y₁y₂?命题甲：x₁≠x₂为真命题；
故甲是乙成立的充分必要条件
故选C

点评：本题考查的知识点是充要条件的判定，根据已知先判断命题甲?命题乙的真假，及命题乙?命题甲的真假，根据充要条件的定义即可得到答案．