Question

设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线.当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论.

Answer 1

思路解析：本题考查抛物线的定义:将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化.

解:F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等，

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y₁≥0,y₂≥0，依题意y₁,y₂不同时为0,

∴上述条件等价于y₁=y₂x₁²=x₂²(x₁+x₂)(x₁-x₂)=0.

由抛物线的性质知:开口向上的抛物线中x₁≠x₂，

∴上述条件等价于x₁+x₂=0,

即当且仅当x₁+x₂=0时，l经过抛物线的焦点F.