Question

已知圆C的方程为x²+y²-6x+4y-3=0，直线l与直线3x+4y-19=0关于点A（-1，2）对称．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标和半径；
（Ⅱ）求直线l的方程；
（Ⅲ）求直线l被圆C所截的弦长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化圆的一般式方程为标准式，则圆C的圆心坐标和半径可求；
（Ⅱ）设直线l上任意一点P（x，y），求出P点关于A的对称点，代入直线3x+4y-19=0后整理即可得到答案；
（Ⅲ）由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理求弦长．

解答：解：（Ⅰ）由圆的方程x²+y²-6x+4y-3=0可得
（x-3）²+（y+2）²=16．
所以圆心坐标为（3，-2），半径为4．
（Ⅱ）设直线l上任意一点P（x，y），则P关于A（-1，2）的对称点Q（-2-x，4-y）
由点Q在已知直线上，代入直线方程得3（-2-x）+4（4-y）-19=0，
整理得3x+4y+9=0．
故所求直线方程为3x+4y+9=0．
（Ⅲ）圆心到直线l的距离d=

|9-8+9|

5

=2，
则弦长为2

42-22

=4

3

．
故直线l交圆C所得的弦长为4

3

．

点评：本题考查了直线与圆的方程的应用，训练了代入法求曲线方程，考查了点到直线的距离公式，是中档题．