Question

函数y=f（x）满足f（x+2）=-f（x），当x∈（-2，2]时，f（x）=|x|-1，则f（x）在[0，2012]上零点的个数为________．

Answer 1

1006
分析：由f（x+2）=-f（x）可得，函数f（x）的周期是4，当x∈（-2，2）时，由f（x）=|x|-1=0解得x=±1，由周期性可得f（3）=0及f（x）=0在[0，2012]上的解的个数．
解答：由f（x+2）=-f（x）可得，f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），∴4是函数f（x）的周期．
当x∈（-2，2）时，由f（x）=|x|-1=0解得x=±1，∵f（3）=f（-1+4）=f（-1）=0，∴f（x）=0在[0，4]上有两个解，
又函数f（x）的最小正周期是4，∴f（x）=0在[0，2012]上解的个数是1006，即f（x）在[0，2012]上零点的个数是1006．
故答案为1006．
点评：本题考查函数的零点个数问题、函数的周期性的应用，考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题．