Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），点P（

8

5

，

4

5

），线段OP的垂直平分线经过抛物线的焦点F，经过F作两条互相垂直的弦AB、CD、，设AB、CD的重点分别为M、N
（1）求抛物线的方程；
（2）直线MN是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由p（

8

5

，

4

5

），O（0，0），得到直线OP的k斜率：K_OP=

1

2

，从而得出OP的垂直平分线所在直线方程，最后令y=0，可得：p=2，从而写出抛物线方程即可；
（2）假设直线MN过定点，设A（x_A，y_A），B （x_B，y_B），M（x_M，y_M），设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得直线MN的方程，从而解决问题．

解答：解：（1）由p（

8

5

，

4

5

），O（0，0），
∴k_OP=

1

2

，线段OP的中点为：（

4

5

，

2

5

），
∴OP的垂直平分线所在直线方程y-

2

5

=-2(x-

4

5

)，即2x+y-2=0．
令y=0，解得：x=1，故得：p=2
抛物线方程为：y²=4x…..（4分）
（2）假设直线MN国定点
设A（x_A，y_A），B （x_B，y_B），M（x_M，y_M），
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）
与抛物线联立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韦达定理：x_A+x_B=2+

4

k 2

∴x_M=

2

k 2

+1
∴点M的坐标为（

2

k 2

+1，-2k）
当k≠±1
直线MN的斜率为：

k

1-k 2

方程为：y+2k=

k

1-k 2

（x-2k²-1
整理得：y（1-k²）=k（x-3）
直线恒经过定点（3，0）
当k=±1时，直线MN方程为X=3，经过（3，0）
综上，不论k为何值，直线MN恒过定点（3，0）…（12分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了考生分析推理和基本的运算能力．