Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+bx2+cx（b、c为常数）的两个极值点分别为α、β，f（x）在点（-1，f（-1））处切线为l₁，其斜率为k₁；在点（1，f（1））处的切线为l₂，其斜率为k₂．
（1）若l₁⊥l₂，|α-β|=1，求b，c；
（2）若α∈（-3，-2），β∈（0，1），求k₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数，再利用l₁⊥l₂⇒f'（-1）f'（1）=-1找到（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1①；再利用α、β为极值点转化为导函数=0的根和|α-β|=1，找出4b²-4c=1  ②，共同解得b，c．
（2）α∈（-3，-2），β∈（0，1）说明f'（x）=x²+2bx+c=0的两根位于（-3，-2）和（0，1），画出对应的图象，利用图象找到b，c所满足的不等式组，在利用线性规划知识求出k₁的取值范围．

解答：解：（1）由题得f'（x）=x²+2bx+c
∵l₁⊥l₂，∴f'（-1）f'（1）=-1
即（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1  ①
∵α，β是x²+2bx+c=0的两根
∴α+β=-2b，αβ=c．
又因为|α-β|=1，
∴|α-β|²=（α+β）²-4αβ=4b²-4c=1  ②
由①②得 c=1，b=±

5

2

．
（2）∵f'（x）=x²+2bx+c，α∈（-3，-2），β∈（0，1）
∴

f′(-3)＞0 f′(-2)＜0 f′(0)＜0 f′(1)＞0

即

9-6b+c＞0 4-4b+c＜0 c＜0 1+2b+c＞0

则点P（b，c）的取值范围如图中阴影部分所示，
∵k₁=-2b+c+1，当直线l₁过点A（1，0）时k₁=-1，当直线l₁过点C（1，-3）时，k₁=-4，
∴k₁的取值范围是（-4，-1）．（14分）

点评：本小题主要考查函数的极值、导数、不等式．线性规划等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及数形结合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．