Question

选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）若M，N分别是曲线ρ=2cosθ和ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

上的动点，则M，N两点间的距离的最小值是

 

；
（2）不等式|2x-1|-x＜1的解集是

 

；
（3）如图，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D，若∠AEB=30°，则∠PCE=

 

°；

Answer 1

分析：（1）可以先将极坐标方程化为直角坐标方程，M、N是直线与圆上的两个动点，最小距离为圆心到直线的距离减去半径即可；
（2）将绝对值不等式移项，两边平方，然后解一元二次不等式即可；
（3）利用弦切角，以及三角形的外角与内角的关系，结合图形即可解决．

解答：解：（1）曲线ρ=2cosθ和ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

可化为直角坐标方程为：x-y+1=0与（x-1）²+y²=1
∴M、N在直线与圆心（1，0）半径为1的圆上
圆心（1，0）到直线的距离d=

|2|

2

=

2

∴M，N两点间的距离的最小值dmin=

2

-1  故答案为：

2

- 1

（2）|2x-1|-x＜1
∴|2x-1|＜x+1  两边平方得，
（2x-1）²＜（x+1）²
∴x²-2x＜0  即 0＜x＜2   故答案为（0，2）

（3）如图，PE 是圆的切线
∴∠PEB=∠PAC
∵AE是∠APE的平分线
∴∠EPC=∠APC
根据三角形的外角与内角关系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC
∴∠EDC=∠ECD
∴△EDC为等腰三角形，又∠AEB=30°
∴∠EDC=∠ECD=75°即∠PCE=75°，
故答案为75．

点评：本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，点到直线的距离，绝对值不等式的解法，以及圆与三角形相关知识．