Question

三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.

（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的余弦；

（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的正弦.

 

 

 

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，

所以EF∥BC，GF∥CP.         …………………………………………………1分

因为EF、GF平面PCB，

    所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.  

 又EF∩GF= F，

所以平面GFE∥平面PCB.                   …………………………………3分

依条件建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.

所以A(2，0，0)，B(0，1，0)， P(0，0，1)

   （Ⅱ）解：显然=(0，1，0)是平面PAC的一个法向量.

设n=(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，

因为=(-2，0，1)，=(-2，1，0)，

所以由n·=0，n·=0解得n=(1，2，2).        …………………………6分

设二面角B-AP-C的大小为，

所以cos==.   

    所以二面角B-AP-C的余弦为.     …………8分

（Ⅲ）解：设PF与平面PAB所成的角为，

由（Ⅱ）知平面PAB的一个法向量n=(1，2，2).

又=(-1，0， 1)，所以cos(-)==.   ……11分

所以sin=.即直线AC与平面PAB所成角的正弦是.……………13分