Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：y=﹣t²+8t（其中0≦t≦2．t为常数）；l₂：x=2．若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16
则，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x²+8x
（Ⅱ）由得x²﹣8x﹣t（t﹣8）=0，
∴x₁=t，x₂=8﹣t，∵0≦t≦2，
∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（t，﹣t²+8t）由定积分的几何意义知：

=
=
（Ⅲ）令H（x）=g（x）﹣f（x）=x²﹣8x+6lnx+m
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则
函数H（x）=x²﹣8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴
∴x=1或x=3时，H'（x）=0
当x∈（0，1）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数,
当x∈（1，3）时，H'（x）＜0，H（x）是减函数
当x∈（3，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数
∴H（x）极大值为H（1）=m﹣7；H（x）极小值为
H（3）=m+6ln3﹣15
又因为当x→0时，H（x）→﹣∞；
当x→+∞时，H（x）→+∞
所以要使Η（x）=0有且仅有两个不同的正根
，必须且只须
即，
∴m=7或m=15﹣6ln3．
∴当m=7或m=15﹣6ln3．时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点