Question

通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．
（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36．

Answer 1

分析：（1）由已知我们易得函数的类型，故可以利用待定系数法解答本题，由函数的图象设出函数的解析式，将图象上的点代入后易构造出一个关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，即可求出函数注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数解析式，我们可以求出学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36的x的值，然后和24进行比较，即可得到结论．

解答：解：（1）当0≤x≤10时，设抛物线的函数关系式为y=ax²+bx+c，
由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），
所以

c=20 25a+5b+c=39 100a+10b+c=48.

解得，a=-

1

5

，b=

24

5

，c=20．
所以y=-

1

5

x2+

24

5

x+20，0≤x≤10．（6分）
（2）当20≤x≤40时，y=-

7

5

x+76．
所以，当0≤x≤10时，令y=36，
得36=-

1

5

x2+

24

5

x+20，
解得x=4，x=20（舍去）；
当20≤x≤40时，令y=36，得36=-

7

5

x+76，
解得x=

200

7

=28

4

7

．（13分）
因为28

4

7

-4=24

4

7

＞24，
所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题．

点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，其中根据已知中函数的图象，结合待定系数法，求出满足条件的函数的解析式是解答本题的关键．