Question

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为

π

3

．
（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；
（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去θ，化为普通方程为 x²+y²=16①，再依据条件求得直线l的参数方程．
（2）把直线的参数方程代人①得，t2+(2+3

3

)t-3=0 ③，可得t₁t₂=-3，再由|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|，求得结果．

解答：解：（1）把曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去θ，化为普通方程为 x²+y²=16①，
直线l的参数方程为

x=2+tcos π 3  =2+ 1 2 t y=3+tsin π 3  =3+ 3 2 t

 ，(t为参数)  ②．
（2）把②代人①得，t2+(2+3

3

)t-3=0 ③，
设t₁，t₂是方程③的两个实根，则t₁t₂=-3，所以|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=3．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线的参数方程，参数的几何意义，属于基础题．