Question

下列函数一定是奇函数的是

①③④

①f（x）=|ax+b|-|ax-b|；
②f（x）=ax²+bx+c；
③f(x)=1+

2

3x-1

；
④f(x)=1-

2

3x+1

．

Answer 1

分析：先确定函数的定义域，利用奇函数的定义进行判断，即判断f（-x）与f（x）之间的关系，从而确定答案．

解答：解：对于①，f（x）=|ax+b|-|ax-b|的定义域为R，关于原点对称，
∵f（-x）=|-ax+b|-|-ax-b|=|ax-b|-|ax+b|=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
对于②，f（x）=ax²+bx+c的定义域为R，关于原点对称，
∵f（-x）=a（-x）²+b•（-x）+c=ax²-bx+c，
∴当a≠0或c≠0时，f（-x）≠-f（x），
∴f（x）不一定为奇函数；
对于③，f(x)=1+

2

3x-1

的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
∵f（-x）+f（x）=1+

2

3-x-1

+1+

2

3x-1

=2+

2(3-x+3x-2)

(3-x-1)(3x-1)

=2+

2(3-x+3x-2)

2-3-x-3x

=2+（-2）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
对于④，f(x)=1-

2

3x+1

的定义域为R，关于原点对称，
∵f（-x）+f（x）=1-

2

3-x+1

+1-

2

3x+1

=2-

2(3-x+3x+2)

(3-x+1)(3x+1)

=2-

2(3-x+3x+2)

3-x+3x+2

=2-2=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
综上所述，一定是奇函数的是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．要掌握常见的基本初等函数的奇偶性，注意有关奇偶性性质和结论的应用．属于中档题．