Question

函数y=f（x）是区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x²-

1

x

+1．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）求函数y=f（x）在[-2，-

1

2

]的值域；
（3）设函数g（x）=f（x）+1在区间[-3，-1]∪[1，3]的最大值M，最小值N，求M+N的值．

Answer 1

分析：（1）要求函数的解析式，已知已有x＞0时的函数解析式，只要根据题意求出x＜0时的解析式即可，根据x＜0时，由-x＞0结合奇函数的定义f（-x）=-f（x）可求；
（2）根据（1）中函数x＜0时的解析式，分析函数的单调性，进而可得函数y=f（x）在[-2，-

1

2

]的值域；
（3）设函数y=f（x）在在区间[-3，-1]∪[1，3]的最大值m，最小值n，由奇偶性的定义，可得m+n=0，进而根据M=m+1，N=n+1，可得答案．

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0
∵当x＞0时，f（x）=2x²-

1

x

+1．
∴f（-x）=2（-x）²-

1

-x

+1=2x²+

1

x

+1．∵
又∵函数y=f（x）是区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-2x²-

1

x

-1．
∴f（x）=

-2x2- 1 x -1，x＜0 2x2- 1 x +1，x＞0

（2）∵y=-2x²-1在[-2，-

1

2

]上为增函数，y=

1

x

在[-2，-

1

2

]上为减函数
∴f（x）=-2x²-

1

x

-1在[-2，-

1

2

]上为增函数，
∴当x=-2时，函数取最小值-

17

2

，当x=-

1

2

时，函数取最大值

1

2

故函数y=f（x）在[-2，-

1

2

]的值域为[-

17

2

，

1

2

]
（3）设函数y=f（x）在在区间[-3，-1]∪[1，3]的最大值m，最小值n，
则m+n=0
又∵函数g（x）=f（x）+1在区间[-3，-1]∪[1，3]的最大值M，最小值N，
∴M=m+1，N=n+1
∴M+N=2

点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，函数的值域与最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．