Question

如图，在直角梯形ABCD外一点P，且∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．AE⊥PD，E为垂足．
（1）求点D到平面PBC的距离；
（2）求证：BE⊥PD；
（3）求异面直线AE与CD所成角的大小．（用反三角函数来表示）

Answer 1

分析：（1）以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系，先求出平面PBC的法向量，然后求出CD向量在法向量上的投影的长度即为D点到平面PBC的距离．
（2）根据向量数量积为零可知线线垂直，从而

PD

⊥面BEA，根据线面垂直的性质可知PD⊥BE．
（3）先分别求出向量

AE

，向量

CD

的坐标，然后利用空间向量的夹角公式求出两向量的夹角的余弦值，进而得到AE与CD所成角的余弦值，即可得到答案．

解答：解：（1）为了计算方便不妨设a=1，所以AB=BC=1，AD=2，
由题意可得：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系（如图），
则 A(0，0，0)，B(1，0，0)D(0，2，0)P(0，0，

2 3

3

)，C（1，1，0），
所以

PB

=(1，0，-

2 3

3

)，

BC

=(0，1，0)，

CD

=(-1，1，0)，
设

V

=(x，y，z)，并且

V

⊥平面PBC，则

V

⊥ 

BC

， 

V

⊥ 

PB

，
所以

(x，y，z)•(1，0，- 2 3 3 )=0 (x，y，z)•(0，1，0)=0

，即

x- 2 3 3 z=0 y=0

，
令z=1则 x=

2 3

3

，

V

=(

2 3

3

，0， 1)
D点到平面PBC的距离设为d，
则 d=

| V • CD |

| V |

=

2 7

7

，
即D点到平面PBC的距离为

2 7

7

，
所以D点到平面PBC的距离为

2 7

7

a．
（2）证明：由题意可得：

AB

=(1，0，0)，

PD

=(0，2，-

2 3

3

)，
所以

AB

•

PD

=(1，0，0)•(0，2，-

2 3

3

)=0，
所以

AB

⊥

PD

，即AB⊥PD，
又因为AE⊥PD，
所以 PD⊥面BEA，
又因为BE?面BEA，
所以PD⊥BE．
（3）∵PA⊥面ABCD，PD与底面成30°角，
∴∠PDA=30°
过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=AD•sin30°=1，并且∠EAF=60°
所以AF=

1

2

，EF=

3

2

∴E(0，

1

2

，

3

2

)，
于是

AE

=(0，

1

2

，

3

2

)
又 C(1，1，0)，D(0，2，0)，

CD

=(-1，1，0)
则 COSθ=

AE • CD

| AE || CD |

=

2

4

，
所以AE与CD所成角的余弦值为

2

4

，
所以异面直线AE与CD所成角的大小为arccos

2

4

．

点评：本题主要考查了线线的位置关系、线线所成角以及点到面的距离，同时考查了利用空间向量求解立体几何问题，考查空间想象能力，运算求解能力，属于综合题．