Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1(n=1，2，…)，数列{b_n}满足b₁=3,b_k+1=a_k+b_k(k=1，2，3，…)．求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

解：∵S_n=2a_n-1，a₁=S₁=2a₁-1  ∴a₁=1

∴又当k≥2时，

a_k=S_k-S_k-1=(2a_k-1)-(2a_k-1-1)=2a_k-2a_k-1.

∴a_k=2a_k-1

∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列

对于b_k+1=a_k+b_k，取k=1，2，…，n-1，得b₂=a₁+b₁

b₃=a₂+b₂

…

b_n=a_n-1+b_n-1

两端相加，得b_n=S_n-1+b₁=+3=2^n-1+2

∴{b_n}的前n项和S′_n=1+2+2²+…+2^n-1+2n=2ⁿ+2n-1