Question

在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=

1

3

．
①求cos2

B+C

2

+cos2A的值．
②若a=

3

，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析：①根据

B+C

2

=

π

2

-

A

2

，利用诱导公式cos（

π

2

-α）=sinα化简所求式子的第一项，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将cosA的值代入即可求出值；
②由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA表示出三角形的面积，把sinA的值代入得到关于bc的关系式，要求S的最大值，只需求bc的最大值即可，方法为：根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值．

解答：解：①∵cosA=

1

3

，
∴cos2

B+C

2

+cos2A=sin2

A

2

+cos2A
=

1-cosA

2

+(2cos2A-1)
=

1

2

(1-

1

3

)+(

2

9

-1)=-

4

9

；
②

由cosA= 1 3 得sinA= 1-cos2A = 2 2 3

，
∴S=

1

2

bcsinA=

2

3

bc，
要求S的最大值，只须求bc的最大值，
∴

2bc

3

=b2+c2-a2≥2bc-a2，又a=

3

，
∴bc≤

9

4

．(当且仅当b=c=

3

2

时取等号)，
故S的最大值为

3 2

4

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键．