Question

17．已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，成立，则a=f（2010），b=f（$\frac{5}{4}$），c=-f（$\frac{1}{2}$）的大小关系是（　　）

• A． a≤b≤c
• B． c≤b≤a
• C． b≤c≤a
• D． a≤c≤b

Answer 1

分析 y=f（x+1）是奇函数，可得f（-x+1）=-f（x+1），以x+1代替x可得：f（-x）=-f（x+2），由于y=f（x）是偶函数，可得f（x+2）=-f（x），进而得到f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．函数y=f（x）是周期函数，T=4．可得a=f（2010）=f（2）=-f（0），b=f（$\frac{5}{4}$）=$f（2-\frac{3}{4}）$=-$f（\frac{3}{4}）$．由于对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0成立，可得函数f（x）在[0，1]上单调递增，或为常数函数．即可得出．

解答 解：∵y=f（x+1）是奇函数，∴f（-x+1）=-f（x+1），以x+1代替x可得：f（-x）=-f（x+2），∵y=f（x）是偶函数，∴f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
∴函数y=f（x）是周期函数，T=4．
∴a=f（2010）=f（502×4+2）=f（2）=-f（0），
b=f（$\frac{5}{4}$）=$f（2-\frac{3}{4}）$=-$f（\frac{3}{4}）$，c=-f（$\frac{1}{2}$）．
∵对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0成立，
∴函数f（x）在[0，1]上单调递增，或为常数函数．
∴f（0）≤$f（\frac{1}{2}）$≤$f（\frac{3}{4}）$，
∴-f（0）≥-$f（\frac{1}{2}）$≥-$f（\frac{3}{4}）$，
∴a≥c≥b．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性周期性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．