Question

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三边长a，b、c成等比数列．
（1）若B=

π

3

，求证：△ABC为正三角形；
（2）若B=

π

6

，求sin(2A-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）由a，b、c成等比数列得到b²=ac，由余弦定理得到三角形三遍的关系，把b²=ac代入后得到（a-c）²=0，即a=c，再由B=

π

3

可得△ABC为正三角形；
（2）把b²=ac利用正弦定理化为sin²B=sinAsinC，由B=

π

6

得，C=

5π

6

-A，把C代入后展开两角差的正弦，整理后化积即可得到答案．

解答：（1）证明：∵a，b、c成等比数列，
∴b²=ac，
∵B=

π

3

，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2ac×

1

2

=a²+c²-ac．
∴ac=a²+c²-ac，即（a-c）²=0，a=c．
又B=

π

3

，∴△ABC为正三角形；
（2）解：由b²=ac，得sin²B=sinAsinC，
又B=

π

6

，∴C=

5π

6

-A
∴sinAsin（

5π

6

-A）=sin2

π

6

=

1

4

．
即sinA（sin

5π

6

cosA-cos

5π

6

sinA）=

1

4

．
sinA（

1

2

cosA+

3

2

sinA）=

1

4

．

1

4

sin2A+

3

2

sin2A=

1

4

．

1

4

sin2A+

3

2

•

1-cos2A

2

=

1

4

．
整理得：sin2A-

3

cos2A=1-

3

．
∴2sin（2A-

π

3

）=1-

3

．
sin（2A-

π

3

）=

1- 3

2

．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了正弦定理和余弦定理，训练了两角和与差的正弦公式，是中档题．