Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）在（1）的条件下，求证：；

（3）当时，求函数在上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】分析：第一问首先求出函数的导数，求得函数和导函数在处的函数值，结合导数的几何意义，利用直线方程的点斜式求得切线方程；第二问应用导数研究函数的单调性，找到相应的最值求得结果；第三问应用导数研究函数的单调性，分类讨论，找到函数的最值来得到结果.

详解：（1）当时，，．所以，，切线方程为．

（2）由（Ⅰ）知，则．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．当时，函数最小值是，因此.

（3），令，则．当时，设，因为，所以在上单调递增，且，所以在恒成立，即．

当，，当，；所以在上单调递减，在上单调递增．所以在上的最大值等于．因为，．

设()，所以．由（2）知在恒成立，所以在上单调递增．

又因为，所以在恒成立，即，因此当时，在上的最大值为．