Question

（2007•烟台三模）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225，{b_n}为等比数列，且有b₃=a₂+a₃，b₂•b₅=128．
（1）求{a_n}的通项公式及{b_n}前n项和；
（2）求使得

1

an-7

＞

1

4

成立的正整数n．

Answer 1

分析：（1）设出{a_n}的首项和公差，由等差数列通项公式和前n项和公式，代入条件列出方程求出a₁和d，再代入通项公式求出a_n，同理利用等比数列的通项公式和条件，列出方程求出b₁和q的值，代入等比数列的前n项和公式化简；
（2）把a_n的公式代入不等式，求出n的范围，再求出正整数n的值．

解答：解：（1）设{a_n}首项为a₁，公差为d，
由题意得，

a1+2d=5 15a1+ 15×14 2 ×d=225

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
设等比数列{b_n}的公比是q，
∵b₃=a₂+a₃，b₂•b₅=128，
∴

b1q2=8 b12q5=128

，解得b₁=2，q=2，
∴{b_n}前n项和T_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
（2）由

1

an-7

＞

1

4

得，

1

2n-8

＞

1

4

，
即0＜2n-8＜4，解得4＜n＜6
∵n∈N*，∴n=5，
则所求的n的值是5．

点评：本题考查了等差数列（等比数列）的通项公式、前n项和公式的应用，考查了公式的综合应用和计算能力．