Question

在平面直角坐标系x0y中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）证明直线过定点M，求出此点的坐标及圆O的方程；
（2）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断

QM

•

QN

×tan∠MQN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由．
（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列，求

PA

•

PB

的范围．

Answer 1

分析：（1）依题意可知直线过定点，要求使圆O的面积最小，则定点在圆上，求出半径即可求圆的方程；
（2）利用

QM

•

QN

×tan∠MQN，可得到等价关系即三角形面积，容易确定圆上的点到已知线段的最大距离，可求出直线l的方程；
（3）求出A、B两点的坐标，设P的坐标，利用|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列，得到相等关系式，P在圆内，得到不等式，从而可求数量积的范围．

解答：解：（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，所以圆O的方程为x²+y²=25；
（2）存在直线方程2x-y-5=0，符合题意，理由如下

QM

•

QN

×tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|×sin∠MQN=2S_△MQN
由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），
∴直线l_MQ：y=3，|MQ|=8，∴当N（0，-5）时，S_△MQN有最大值32．
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值为64，此时直线l的方程为2x-y-5=0．
（3）A（-5，0），B（5，0），设P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²＜25   ①
由|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列，得|

PO

|²=|

PA

|•|

PB

|，
∵

PA

=（-5-x₀，-y₀），

PB

=（5-x₀，-y₀），
∴x₀²+y₀²=

(x0+5)2+y02

•

(x0-5)2+y02

，整理得：x₀²-y₀²=

25

2

，即x₀²=y₀²+

25

2

②
由①②得：0≤y₀²＜

25

4

，
∴

PA

•

PB

=（x₀²-25）+y₀²=2y₀²-

25

2

∴

PA

•

PB

∈[

25

2

，0）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，向量的数量积，等比数列，考查等价转化的数学思想，属于中档题．