Question

已知f（x）=x²+2x+alnx
（1）当a=-4，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在（0，1）不单调，求a的取值范围；
（3）当t≥1时，f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=4代入函数解析式，求导后得到导函数在定义域内的零点，由零点对定义域分段后判断导函数的符号，从而得到极小值点，求出极小值即最小值；
（2）求出函数的导函数，引入辅助函数g（x）=2x²+2x+a，因为x＞0，要使f（x）在（0，1）不单调，则需g（x）在（0，1）内不同号，利用“三个二次”的结合得到关于a的不等式组，从而求出a的取值范围；
（3）把不等式f（2t-1）≥2f（t）-3变形为2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1），构造辅助函数h（x）=2x-alnx（x≥1），问题转化为证明该函数为增函数，利用导数即可证明．
解答：解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）
当a=-4时，f（x）=x²+2x-4lnx，
．
当x∈（0，1）时，f′（x）0．
所以，f（x）在x=1时取得极小值，也就是最小值，等于f（1）=3；
（2）因为f（x）=x²+2x+alnx（x＞0），
所以．
设g（x）=2x²+2x+a，
∵函数f（x）在区间（0，1）上不单调，
∴，即，解得-4＜a＜0．
∴实数a的取值范围是{a|-4＜a＜0}；
（3）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为
2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1）
∴2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t²）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t²≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可．
即在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，
故a≤2．
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，该题（3）巧妙地转化构造函数，使该题解题过程变得较为简洁，起到了事半功倍的效果，该题是难题．